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A. K. Machinek:
"Anwendung der Verzweigungstheorie auf das Beulen und Nachbeulverhalten von Kreisring- und Rechteckplatten";
Betreuer/in(nen), Begutachter/in(nen): H. Troger, F. G. Rammerstorfer; Institut für Mechanik, TU Wien, 1986.

In dieser Dissertation wird das Beulen und das Nachheulverhalten von Platten am mehrfachen Eigenwert durch Anwendung der Verzweigungstheorie untersucht. Die mechanische Beschreibung der Platte ist durch die nichtlinearen Von­Karman-Plattengleichungen gegeben.

Es werden zwei verschiedene Platten studiert. Die eine ist eine Kreisringplatte. Der Außenrand mit dem Radius a ist eingespannt und in der Plattenmittelebene radial nach innen mit der Linienlast N belastet. Der Innenrand mit Radius b ist frei. Das andere Modell ist eine Rechteckplatte. Die beiden Breitseiten sind gelenkig gelagert und mit einer Linienlast in Plattenmittelebene druckbelastet. Eine Längsseite ist eingespannt, die andere Längsseite ist frei. Die Rechteckplatte soll - aufgefaßt als Teil einer Kreisringplatte - einen Vergleich mit der Kreisringplatte ermöglichen.

Beulen an einem mehrfachen Eigenwert bedeutet, daß bei einer kritischen Belastung mehrere Beulmodes gleichzeitig auftreten. Berechnet man die Beullasten der Kreisringplatte in Abhängigkeit von der Lochgröße b/a, so findet man, daß die Platte für b/a < 0.51 in einem rotationssymmetrischen Mode ausbeult. Istjedoch b/a ≥ 0.51, weist das Beulmuster n Wellen in Umfangsrichtung auf. Die Wellenzahl nimmt mit b/a rasch zu. Der erste kritische Wert ist b/a = 0.51, für den die Beulmodes n = 0 und n = 1 bei gleicher Beullast auftreten. Dies ist ein dreifacher Eigenwert, da die Lage des Modes n = 1 in Umfangrichtung wegen der Rotationssymmetrie der ungebeulten Platte als dritte Unbekannte auftritt. Die Berechnung der Eigenwerte und Eigenfunktionen wird numerisch mit der Software COLSYS durchgeführt.

Der dreifache Eigenwert wird genau untersucht. Die nichtlinearen Plattengleichungen werden mit Hilfe des Liapunov-Schmidt-Reduktionsverfahrens auf drei nichtlineare algebraische Gleichungen reduziert. Diese haben in einer kleinen Umgebung des Verzweigungspunktes exakt die gleichen Lösungen wie das ursprüngliche System.

Als erstes Ergebnis wird gezeigt, daß dieses System mit Termen von höchstens dritter Ordnung indeterminiert ist. Das bedeutet, daß Störungen mit Termen höherer als dritter Ordnung zu qualitativen Veränderungen der Lösungen führen. Das zweite wichtige Ergebnis dieser Arbeit ist, daß man das System von drei Gleichungen durch bestimmte lmperfektionen, die den Mode n = 1 in Umfangsrichtung festlegen, auf ein System von zwei nichtlinearen Gleichungen reduzieren kann, welche dreideterminiert sind. Das zugehörige Potential ist im Sinne der Klassifikation der Katastrophentheorie eine Double Cusp.

Im nächsten Schritt wird eine beschränkt-generische Auffaltung dieser Verzweigungsgleichungen in mechanisch wichtigen Parametern durchgeführt. Dies bewirkt ein robustes Verhalten der Platte unter kleinen Störungen. Bei der Diskussion der Auffaltung dürfen die Imperfektionen, die die Reduktion von drei auf zwei Gleichungen erlaubten, nicht verschwinden.

Mit diesem aufgefalteten Modell werden verschiedene Ergebnisse präsentiert. Die Lösungen werden besonders in Hinblick auf Mode Jumping diskutiert. Die Berechnung der Lösungen erfolgt numerisch mit Hilfe einer Kurvenverfolgungsstrategie.

In this thesis a description of the buckling and the postbuckling behaviour of plates for multiple eigenvalues is given by means of bifurcation theory. The mechanical description of the plate is given by the nonlinear von Karman plate equations.

Two different plates are studied. One is an annular plate. The outer edge with radius a is clamped and subjected to radial compression force per unit length N. The inner edge with radius b is free. The second plate is rectangular. The short edges are simply supported and loaded by a normal compression force. One of the long edges is clamped, the other is free. The rectangular plate, considered as a part of the annular plate, is used to supply a comparison with the results of the annular plate.

Buckling at a multiple eigenvalue means that we have several simultaneous buckling modes for one critical load. Calculating the buckling loads for the annular plate dependent on the size of the hole (b/a) it is found that for b/a < 0.51 the plate always buckles in a symmetric form. However, if b/a ≥ 0.51 n waves in circumferential direction occur on the buckling pattern. The wavenumber n increases rapidly with increasing b/a. The first critical value is b/a = 0.51 where the modes n = 0 and n = 1 correspond to the same buckling load. This is a threefold eigenvalue, since the circumferential position of the mode n = 1 is a third unknown because of the rotational symmetry of the unbuckled plate. The calculation of the eigenvalues and the eigenfunctions is done numerically by means of the software COLSYS.

The threefold eigenvalue is studied in detail. By means of the Liapunov­Schmidt-reduction the nonlinear plate equations are reduced to a set of three nonlinear algebraic equations which in a small neighborhood of the bifurcation point has qualitatively exactly the same solutions as the original system.

As a first result it is now shown that this system of bifurcation equations including terms of at most third order is indeterminate. This means that perturbations with terms of higher order than three lead to qualitative changes of the solutions. The second important result of this thesis is that, by introducing certain imperfections that fix the mode n = 1 in circumferential direction, the system of three bifurcation equations can be reduced to a system of only two nonlinear equations which are 3-determinate. In the sense of the classification of Catastrophe Theory the corresponding potential is a Double Cusp.

In the next step a restricted generic unfolding of these bifurcation equations is given in mechanically meaningful parameters. This leads to a robust behaviour of the plate under small perturbations. When discussing the unfolding the imperfections that permit the reduction from three to two equations must not vanish.

With this unfolded model several results related to mode jumping are presented. They are calculated numerically by a path following strategy.